1) si x<1 alors f(x)=x²-1 est définie sur ]-∞;1[ si x≥1 alors f(x)=(x-1)/(x+1) qui est définie sur [1;+∞[ car x≠-1 donc Df=IR
2) continuité en x0=1 lim(f(x),x→1,x<1)=0 et lim(f(x),x→1,x>1)=0 donc f est continue en 1
3) dérivabilité de f en 1 : si x<1 : T(f)=(f(x)-f(1))/(x-1) =(x²-1)/(x-1) =x+1 si x≥1 : T(f)=(f(x)-f(1))/(x-1) =(x-1)/(x+1)(x-1)) =1/(x+1) donc lim(T(f),x→1,x<1)=2 et lim(T(f),x→1,x>1)=1/2 donc f n'est pas dérivable en x0=1
4) équations des 1/2-tangentes en x0=1 : (d1) : y=2(x-1)+0 soit y=2x-2 (d2) : y=1/2(x-1)+0 soit y=1/2x-1/2
5) variations de f : si x<1 : f'(x)=2x donc f est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;1] si x≥1 : f'(x)=2/(x+1)² donc f est croissante sur [1;+∞[
1) v(n+1)=1/(u(n+1)-1) =1/((4u(n)-3)/(3u(n-2))-1) =(3u(n)-2)/(4u(n)-3-3u(n)+2) =(3u(n)-2)/(u(n)-1) =(u(n)+2u(n)-2)/(u(n)-1) =(u(n))/(u(n)-1)+2 =(u(n)-1+1)/(u(n)-1)+2 =1+1/(u(n)-1)+2 =v(n)+3 ⇒ (v) est une suite arithmétique de 1er terme v(0)=1/4 et de raison r=3 (petite erreur dans l'énoncé...)
b) √3x²+6x-√3=0 donne Δ=36+4*3=48 x=(-6-√48)/(2√3)=(-6√3-12)/6=-√3-2 ou x=-√3+2
c) tan(π/6)=√3/3 donc on déduit que : tan(π/6)=tan(2a) avec a=π/12 donc tan(2a)=√3/3 donc 2tan(a)/(1-tan²(a))=√3/3 donc √3(tan(a)²+6tan(a)-√3=0 donc tan(a)=-√3-2 ou tan(a)=-√3+2 or tan(π/12)>0 donc tan(π/12)=2-√3
On fait brûler 4,4 g de propane dans un excès de dioxygène . Écrire l'équation bilan de la réaction C₃H₈ + 5O₂ --> 3CO₂ + 4H₂O
Calculer le volume de dioxyde de carbone obtenu dans les conditions normales de température et de pression ? M CO₂ = 3 MC + 6 MO M CO₂ = (3 x 12) + (6 x 16) M CO₂ = 42 + 96 M CO2 = 138 g/mol
et ensuite tu multiplies par le propane converti en moles
Salut !
volume du réservoir = 50×20×22 + π×(22÷2)²×50
= 22 000 + 6 050π
≅ 41 007 (cm³)
1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³
donc : 41 007 cm³ ≅ 41 dm³ ≅ 41 L
si x≥1 alors f(x)=(x-1)/(x+1) qui est définie sur [1;+∞[ car x≠-1
donc Df=IR
2) continuité en x0=1
lim(f(x),x→1,x<1)=0 et lim(f(x),x→1,x>1)=0
donc f est continue en 1
3) dérivabilité de f en 1 :
si x<1 :
T(f)=(f(x)-f(1))/(x-1)
=(x²-1)/(x-1)
=x+1
si x≥1 :
T(f)=(f(x)-f(1))/(x-1)
=(x-1)/(x+1)(x-1))
=1/(x+1)
donc
lim(T(f),x→1,x<1)=2 et lim(T(f),x→1,x>1)=1/2
donc f n'est pas dérivable en x0=1
4) équations des 1/2-tangentes en x0=1 :
(d1) : y=2(x-1)+0 soit y=2x-2
(d2) : y=1/2(x-1)+0 soit y=1/2x-1/2
5) variations de f :
si x<1 :
f'(x)=2x
donc f est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;1]
si x≥1 :
f'(x)=2/(x+1)²
donc f est croissante sur [1;+∞[
6) graphique (annexe)
=1/((4u(n)-3)/(3u(n-2))-1)
=(3u(n)-2)/(4u(n)-3-3u(n)+2)
=(3u(n)-2)/(u(n)-1)
=(u(n)+2u(n)-2)/(u(n)-1)
=(u(n))/(u(n)-1)+2
=(u(n)-1+1)/(u(n)-1)+2
=1+1/(u(n)-1)+2
=v(n)+3
⇒ (v) est une suite arithmétique de 1er terme v(0)=1/4 et de raison r=3
(petite erreur dans l'énoncé...)
2) v(n)=v(0)+n*r=1/4+3n
⇒ 1/(u(n)-1)=1/4+3n
⇒ u(n)-1=1/(1/4+3n)=4/(1+12n)
⇒ u(n)=4/(1+12n)+1
⇒ u(n)=(12n+5)/(12n+1)
3) u(n)=(12+5/n)/(12+1/n)
or lim(5/n,+∞)=lim(1/n,+∞)=0
⇒ lim(u(n),+∞)=12/12=1
4) S(n)=v(0)+...+v(n)
⇒ S(n)=(v(0)+v(n))/2*(n+1)
⇒ S(n)=(1/4+1/4+3n)/2*(n+1)
⇒ S(n)=(1/4+3/2n)(n+1)
⇒ S(n)=3/2n²+7/4n+1/4
⇒ lim(S(n),+∞)=+∞
ainsi cos²(x)=(cos(2x)+1)/2
or |cos(x)|=√(2+√3)/2 donc (cos(2x)+1)/2=(2+√3)/4
donc cos(2x)+1=(2+√3)/2 donc cos(2x)=√3/2
b) cos(2x)=√3/2 donne cos(2x)=cos(π/6)
donc 2x=π/6+2kπ ou 2x=-π/6+2kπ
donc x=π/12+kπ ou x=-π/12+kπ
2)a) 2tan(x)/(1-tan²(x))=2sin(x)/cos(x)/(1-sin²(x)/cos²(x))
=(2sin(x).cos(x))/(cos²(x)-sin²(x))
=sin(2x)/cos(2x)
=tan(2x)
b) √3x²+6x-√3=0 donne Δ=36+4*3=48
x=(-6-√48)/(2√3)=(-6√3-12)/6=-√3-2 ou x=-√3+2
c) tan(π/6)=√3/3 donc on déduit que : tan(π/6)=tan(2a) avec a=π/12
donc tan(2a)=√3/3 donc 2tan(a)/(1-tan²(a))=√3/3
donc √3(tan(a)²+6tan(a)-√3=0
donc tan(a)=-√3-2 ou tan(a)=-√3+2
or tan(π/12)>0 donc tan(π/12)=2-√3
1) montrer que la longueur du tour est égale à 400 m
L = 2 x 90 + 2 π R = 180 + 70 π = 399.8 m ≈ 400 m
2) Marc fait un temps moyen de 2 min par tour
a) combien de temps d’échauffement
t = 2 x 1000/400 = 5 min
b) la vitesse v = 1/5/60 = 12 km/h
3) a) calculer le temps qu'il faudra pour qu'ils se retrouvent ensemble au même moment et pour la première fois au point A
décomposition de 2 min = 120 s et 1 min 40 s = 100 s en produit de facteurs premiers
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5
100 = 2 x 2 x 5 x 5 = 2² x 5²
ppcm(120 ; 100) = 2³ x 3 x 5² = 600 s
donc ils se retrouvent ensemble et pour la première fois au point A au temps de 600 s = 10 min
b) déterminer combien de tours de piste cela représente pour chacun d'eux
Marc : 600/120 = 5 tours
Jim : 600/100 = 6 tours
Explications étape par étape
Explications étape par étape
a A = (x+5)² - (x-5)²
⇔ A = x² + 10x + 25 - ( x² - 10x + 25 )
⇔ A = x² + 10x + 25 - x² + 10x - 25
⇔ A = 20 x
On a: 10005² - 9995²
Mise en forme comme dans l'expression A
(10000 + 5)² - (10000 - 5)²
A = 20 x (et x vaut 10000)
donc A = 20 × 10000 = 200 000
b B = ( x-4 )² - ( x-2 ) ( x - 8)
⇔ B = x² -8x +16 - ( x² - 8x -2x +16 )
⇔ B = x² -8x + 16 - x² + 8x +2x -16
⇔ B = 2 x
Mise en forme comme dans l'expression B
(10000 - 4 )² - (10000-2 ) ( 10000 - 8)
B = 2x
donc B = 2 × 10000 = 20000
f(x)=x^2+αx+β/1-x
Si cette fonction passe par les points
A(2;19)
B(0;3)
Alors
f(2)=19 et f(0)=3
Résolvons ces deux équations
Donc α=-13 et β=3
1) MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= MI² + 2MI.IA + IA² + MI² + 2MI.IB + IB²
= 2MI² + 2MI.(IA + IB) + (AB/2)² + (AB/2)² (car IA² = IB² = (AB/2)²)
= 2MI² + AB²/2 (car IA + IB = 0)
C'est le théorème de la médiane...
Donc : MA² + MB² = 82
⇔ 2MI² + AB²/2 = 82
⇔ 2MI² + 64/2 = 82
⇔ 2MI² = 50
⇔ MI² = 25
⇒ MI = 5
⇒ (E) cercle de centre I et de rayon 5.
2) MA² + MB² = k
⇔ MI² = (k - 32)/2
⇒ MI = √[(k - 32)/2]
C ∈ Ek ⇒ IC = √[(k - 32)/2]
Or IC² = 1/4 x (2BC² + 2AC² - AB²) (longueur d'une médiane dans un triangle quelconque)
Donc il faut : (k - 32)/2 = 1/4 x (72 + 50 - 64)
⇔ k - 32 = 1/2 x 58
⇒ k = 61
k = 61 ⇒ cercle de rayon R = √(29/2)
3) 61 ≤ MA² + MB² ≤ 82
anneau limité par les 2 cercles de centre I et de rayons respectifs 5 et R.
On fait brûler 4,4 g de propane dans un excès de dioxygène .
Écrire l'équation bilan de la réaction
C₃H₈ + 5O₂ --> 3CO₂ + 4H₂O
Calculer le volume de dioxyde de carbone obtenu dans les conditions normales de température et de pression ?
M CO₂ = 3 MC + 6 MO
M CO₂ = (3 x 12) + (6 x 16)
M CO₂ = 42 + 96
M CO2 = 138 g/mol
et
ensuite tu multiplies par le propane converti en moles
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